Eu sei que parece bobagem escrever isso aqui, mais ainda tem pessoas que não sabem como fazer. Existe um site, que disponibiliza este serviço, não é necessário instalar programa nenhum. Simplesmente faça o seguinte.

Vá até o vídeo que você quer baixar no Youtube e copie esta URL:

Após isso, entre neste endereço: http://www.keepvid.com.

Cole o link que você copiou na caixa do site e clique em download!

Abaixo vai aparecer uma caixa como esta, clique com o botão direito e escolha Salvar Como…

Escolha aonde você quer salvar o video e pronto. Os vídeos baixados do Youtube estarão no formato FLV, para abrir é necessário um FLV-Player, eu recomendo o VLC player que você pode baixar aqui!